בגרות קיץ 2025 מועד א' · שאלה 4 – מודל ריבועי: מסלול הכדור לסל3 יחידות 372 · שיעור 30
📄 נוסח השאלה
נועה זרקה כדור לסל. הכדור נע במסלול בצורת פרבולה שמשוואתה היא y = −0.5x2 + 2x + 2, כמתואר בסרטוט. ציר ה־x מייצג את המרחק האופקי (במטרים) של הכדור מנקודת הזריקה. ציר ה־y מייצג את גובה הכדור מעל הקרקע (במטרים).
א. מצאו את הגובה שממנו זרקה נועה את הכדור.
ב. מצאו את הגובה המקסימלי שאליו הגיע הכדור.
📄 נוסח השאלה · המשך
ג. מצאו בעבור אילו ערכים של x היה הכדור במגמת עלייה.
כאשר הכדור הגיע לסל הוא היה בגובה 3.02 מטר.
ד. מצאו את שיעור ה־x של הכדור כאשר הוא הגיע לסל.
סעיף א – גובה הזריקה
בנקודת הזריקה המרחק האופקי הוא 0. נציב x = 0:
y = −0.5x2 + 2x + 2
y = −0.5 · 02 + 2 · 0 + 2 = 2
✅ פתרון סופי: 2 מטרים
סעיף ב – הגובה המקסימלי
הגובה המקסימלי – בקודקוד הפרבולה. כאן a = −0.5 , b = 2:
x = −b2a
📐 קודקוד פרבולה
x = −22 · (−0.5) = −2−1 = 2
נציב x = 2 בפרבולה:
y = −0.5x2 + 2x + 2
y = −0.5 · 22 + 2 · 2 + 2
📐 קודקוד פרבולה
לפרבולה y = ax² + bx + c
x = −b2a
x = −b2a
סעיף ב – הגובה המקסימלי · המשך
y = −0.5 · 22 + 2 · 2 + 2
y = −2 + 4 + 2 = 4
✅ פתרון סופי: 4 מטרים
סעיף ג – מגמת עלייה
a = −0.5 שלילי – הפרבולה "בוכה" (קודקוד מקסימום). לכן היא עולה משמאל לקודקוד ויורדת מימינו.
הכדור יוצא מ־x = 0 ועולה עד הקודקוד ב־x = 2:
✅ פתרון סופי: 0 < x < 2
סעיף ד – שיעור ה־x בסל
y = −0.5x2 + 2x + 2
נציב y = 3.02:
−0.5x2 + 2x + 2 = 3.02
−0.5x2 + 2x − 1.02 = 0
נכפול ב־−2:
x2 − 4x + 2.04 = 0
סעיף ד – שיעור ה־x בסל · המשך
x2 − 4x + 2.04 = 0
a = 1 , b = −4 , c = 2.04:
x1,2 = −b ± √b2 − 4ac2a
x1,2 = 4 ± √(−4)2 − 4 · 1 · 2.042 · 1
📐 נוסחת השורשים
b2 − 4ac = 16 − 8.16 = 7.84
√7.84 = 2.8
📐 נוסחת השורשים
x1,2 = −b ± √b2 − 4ac2a
סעיף ד – שיעור ה־x בסל · המשך
√7.84 = 2.8
x1 = 4 + 2.82 = 3.4
x2 = 4 − 2.82 = 0.6
בגובה 3.02 הכדור היה פעמיים: בעלייה (x = 0.6) ובירידה (x = 3.4). לפי הסרטוט הכדור נכנס לסל בירידה – אחרי הקודקוד (x > 2).
✅ פתרון סופי: x = 3.4 מטרים
📌 סיכום התשובות
סעיף א
2 מטרים
סעיף ב
4 מטרים
סעיף ג
0 < x < 2
סעיף ד
x = 3.4
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא